Problématique

L’optimisation et l’algèbre linéaire creuses constituent les deux thèmes principaux de notre activité.

L’analyse et le contrôle des systèmes dynamiques constituent la première composante de notre activité en optimisation. Nous nous intéressons donc d’une manière générale à la résolution numérique des problèmes de contrôle optimal, principalement via les méthodes indirectes.

Notre domaine d’application, dans le cadre d’un contrat avec le CNES, est le transfert orbital à poussée faible avec minimisation du temps de transfert ou de la consommation. L’intérêt d’utiliser des moteurs électro-ioniques, par rapport aux moteurs chimiques, réside dans leur fort rendement. Leur inconvénient est une poussée très faible qui nécessite la résolution de problème d’optimisation en dimension infinie et un temps de transfert long. S’ajoute à ces difficultés, pour le problème à consommation minimale, la non-continuité du contrôle optimal. De plus les contraintes technologiques des moteurs imposent des contraintes logiques sur le système. Ces dernières ont été, dans un premier temps, étudiées sur un problème où la dynamique est linéaire et le coût quadratique (problème LQR), pour lequel nous avons choisi une approche directe. Celle-ci conduit à un problème de programmation mathématique mixte de grande taille. Certains outils utilisés ici rejoignent la deuxième partie de notre activité qui est l’optimisation globale : démarche Branch-and-Bound et analyse d’intervalle. L’objectif est la recherche d’algorithmes efficaces, grâce à des calculs de bornes, pour obtenir la ou les solutions globales du problème d’optimisation.

En algèbre linéaire creuse, nous travaillons aussi bien sur les algorithmes de factorisation que sur les approches itératives de résolution. Les algorithmes de prétraitement de la structure de la matrice (renumérotation des graphes associés aux matrices creuses), de prétraitement numériques de la matrice (équilibrage, recherche de chemin à fort poids numériques) et de préconditionnement de la matrice constituent des outils incontournables pour accélérer les méthodes de résolution. Une partie importante de notre activité leur est donc consacrée. Le développement d’algorithmes numériquement stables capables de passer à l’échelle sur un grand nombre de processeurs (quelques centaines) aussi bien du point de vue de l’utilisation de la mémoire que du temps de calcul constitue aussi une des priorités de cette activité.

Enfin, dans le cadre du projet transversal GRID-TLSE (Janvier 2003) notre activité s’est étendue au développement d’un site d’expertise en algèbre linéaire creuse. Dans le cadre de ce projet les outils numériques de résolution, souvent complexes dans leur utilisation, sont considérés comme des services déployés sur une grille de calcul qui inclura aussi bien des réseaux faiblement couplés de machines que des machines parallèles de production des centres de calcul.

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